题意

在一棵树上选出 $k$ 条可相交的链使得被覆盖的点数最多，求该最大值

题解

说实话这个解法是真的厉害

显然题目可以看作选出 $k \times 2$ 个叶子节点，然后将它们互相连接最终覆盖的点的最大值

再考虑删去选中的 $k \times 2$ 个叶子节点后，向内一层的点最多只会有 $k \times 2$ 个点有贡献

同理继续内推

于是上述过程即由叶子节点开始拓扑，对于拓扑的每一层，令点 $i$ 拓扑深度为 $depth_i$，$total_i$ 表示拓扑深度为 $i$ 的点的个数，即，将每一个拓扑层重新看作叶子节点，再在当前拓扑层中选出至多 $k \times 2$ 个“叶子节点”，故
$$
\min (k \times 2, total_i)
$$
即为拓扑深度为 $i$ 的层的答案贡献

将它们累加起来即可

复杂度 $O (n)$

代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;

const int MAXN = 1e06 + 10;
const int MAXM = 1e06 + 10;

struct LinkedForwardStar {
	int to;

	int next;
} ;

LinkedForwardStar Link[MAXM << 1];
int Head[MAXN]= {0};
int size = 0;

void Insert (int u, int v) {
	Link[++ size].to = v;
	Link[size].next = Head[u];

	Head[u] = size;
}

int N, K;
int degree[MAXN]= {0};

queue<int> que;
int depth[MAXN]= {0};
int total[MAXN]= {0};
void toposort () {
	for (int i = 1; i <= N; i ++)
		if (degree[i] == 1) {
			que.push(i);
			total[depth[i] = 1] ++;
		}
	while (! que.empty()) {
		int u = que.front(); que.pop();
		for (int i = Head[u]; i; i = Link[i].next) {
			int v = Link[i].to;
			if ((-- degree[v]) == 1) {
				total[depth[v] = depth[u] + 1] ++;
				que.push(v);
			}
		}
	}
}

inline int getnum () {
	int num = 0; char ch = getchar ();
	while (! isdigit (ch)) ch = getchar ();
	while (isdigit (ch)) num = (num << 3) + (num << 1) + ch - '0', ch = getchar ();
	return num;
}

int main () {
	N = getnum (), K = getnum ();
	for (int i = 1; i < N; i ++) {
		int u = getnum (), v = getnum ();
		Insert (u, v), Insert (v, u);
		degree[u] ++, degree[v] ++;
	}
	toposort ();
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= N; i ++)
		ans += min (K << 1, total[i]);
	printf ("%d\n", ans);

	return 0;
}

/*
17 3
1 2
3 2
2 4
5 2
5 6
5 8
7 8
9 8
5 10
10 13
13 14
10 12
12 11
15 17
15 16
15 10
*/